รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานค32102
ข้อมูล: มัธยมศึกษาปีที่ 5
หลักสูตรรายวิชา
สารบัญรายวิชา
กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ วิธีเรียงสับเปลี่ยน วิธีจัดหมู่ ความน่าจะเป็น
ป็นความคิดที่ดีในการสร้างหน่วยการเรียนรู้ที่ครอบคลุมเนื้อหาสำคัญเหล่านี้! นี่คือโครงร่างหน่วยการเรียนรู้เรื่อง "หลักการนับเบื้องต้น ความน่าจะเป็น และการประยุกต์ใช้" พร้อมตัวอย่างประกอบในแต่ละส่วน
หน่วยการเรียนรู้: หลักการนับเบื้องต้น ความน่าจะเป็น และการประยุกต์ใช้
หัวข้อการเรียนรู้ สาระสำคัญ/แนวคิดหลัก ตัวอย่างประกอบ
1. กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ กฎการบวก: ใช้เมื่อการทำงานสามารถแบ่งออกเป็นกรณีที่ไม่ซ้ำซ้อนกัน (n
1
+n
2
+⋯+n
k
) กฎการคูณ: ใช้เมื่อการทำงานประกอบด้วยขั้นตอนย่อยๆ ต่อเนื่องกัน (n
1
×n
2
×⋯×n
k
) ตัวอย่าง (กฎการคูณ): ถ้ามีเสื้อ 3 ตัว และกางเกง 2 ตัว จะสามารถแต่งกายได้กี่ชุด? วิธีทำ: 3×2=6 ชุด
2. วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) การจัดเรียงสิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ (มีการจัดตำแหน่ง) (P
n,r
=
(n−r)!
n!
) เรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นและเชิงวงกลม ตัวอย่าง (เรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น): มีคน 5 คน ต้องการจัดยืนเข้าแถวเรียงหนึ่ง 3 คน จะมีวิธีการจัดกี่วิธี? วิธีทำ: P
5,3
=
(5−3)!
5!
=
2
120
=60 วิธี
3. วิธีจัดหมู่ (Combination) การเลือกสิ่งของเป็นกลุ่ม/ชุด โดย ไม่คำนึงถึงลำดับ (ไม่มีการจัดตำแหน่ง) (C
n,r
=(
r
n
)=
r!(n−r)!
n!
) ตัวอย่าง: มีนักเรียน 10 คน ต้องการเลือกตัวแทน 3 คน มาทำกิจกรรม จะมีวิธีเลือกได้กี่วิธี? วิธีทำ: (
3
10
)=
3!(10−3)!
10!
=
3×2×1
10×9×8
=120 วิธี
4. ความน่าจะเป็น (Probability) โอกาสที่เหตุการณ์ใดๆ จะเกิดขึ้น (P(E)=
n(S)
n(E)
) เมื่อ n(E) คือ จำนวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่สนใจ และ n(S) คือ จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ (ปริภูมิตัวอย่าง) ตัวอย่าง: ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มเป็น จำนวนคู่ คือเท่าใด? วิธีทำ: S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6 เหตุการณ์ (E): ได้แต้มคู่ E={2,4,6}, n(E)=3 P(E)=
6
3
=
2
1
ส่งออกไปยังชีต
แนวทางการนำไปใช้/การประเมิน
กิจกรรม: ให้นักเรียนแก้โจทย์ปัญหาในชีวิตประจำวัน (เช่น การเลือกเมนูอาหาร การสร้างรหัสผ่าน การจัดทีมกีฬา)
การประเมิน: ตรวจสอบความเข้าใจผ่านการทำแบบฝึกหัดและการแก้โจทย์ปัญหาประยุกต์
คุณสามารถเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับเนื้อหาเรื่อง การจัดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด ได้จากวิดีโอนี้ ตำราคณิตศาสตร์ EP2หลักการนับเบื้องต้นและความน่าจะเป็น:Part7 การจัดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
วิดีโอนี้จะอธิบายและยกตัวอย่างเกี่ยวกับวิธีการจัดหมู่ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของหน่วยการเรียนรู้นี้
-
กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
วิธีเรียงสับเปลี่ยน
วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation)
วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) คือ จำนวนวิธีการจัดเรียงสิ่งของต่างๆ โดยที่ถือเอา ลำดับ (Order) หรือ ตำแหน่ง ของสิ่งของที่นำมาจัดเรียงเป็นสำคัญ ซึ่งหมายความว่า หากสลับตำแหน่งของสิ่งของที่จัดเรียงกันไป ผลลัพธ์ที่ได้จะถือว่าเป็นวิธีที่แตกต่างกัน
1. การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
เป็นการหาจำนวนวิธีในการนำสิ่งของ n ชิ้นที่แตกต่างกันทั้งหมด มาจัดเรียงเป็นแนวตรงคราวละ r ชิ้น โดยที่ 1≤r≤n
📌 สูตรที่ใช้:
P
n,r
=
(n−r)!
n!
เมื่อ:
P
n,r
คือ จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน
n คือ จำนวนสิ่งของทั้งหมดที่มี
r คือ จำนวนสิ่งของที่เลือกมาจัดเรียง
กรณีพิเศษ: เรียงสับเปลี่ยนสิ่งของทั้งหมด
ถ้าต้องการนำสิ่งของ n ชิ้น มาจัดเรียงทั้งหมด (r=n) จะได้จำนวนวิธีเท่ากับ:
P
n,n
=n!
ตัวอย่างประกอบ
ตัวอย่างที่ 1 (เรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด):
มีนักเรียน 5 คน ต้องการจัดให้นั่งเก้าอี้เป็นแถวตรง 5 ตัว จะมีวิธีจัดเรียงได้ทั้งหมดกี่วิธี?
วิธีทำ:
เป็นการจัดเรียงสิ่งของ 5 ชิ้นทั้งหมด (n=5,r=5)
จำนวนวิธี=5!=5×4×3×2×1=120 วิธี
ตัวอย่างที่ 2 (เรียงสับเปลี่ยนบางส่วน):
มีนักกีฬา 8 คน ต้องการจัดยืนเรียงแถวตรงเพื่อรับเหรียญรางวัล โดยเลือกมาเพียง 3 คน (ตำแหน่งที่ 1, 2, 3) จะมีวิธีการจัดเรียงได้ทั้งหมดกี่วิธี?
วิธีทำ:
เป็นการจัดเรียงสิ่งของ 8 ชิ้น โดยเลือกมา 3 ชิ้น (n=8,r=3)
จำนวนวิธี=P
8,3
=
(8−3)!
8!
=
5!
8!
=8×7×6=336 วิธี
2. การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม (Circular Permutation)
เป็นการหาจำนวนวิธีในการนำสิ่งของ n ชิ้นที่แตกต่างกันทั้งหมด มาจัดเรียงเป็นวงกลม ซึ่งการจัดเรียงแบบวงกลมจะไม่มีจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุดที่ตายตัว ทำให้จำนวนวิธีลดลงเมื่อเทียบกับการจัดเรียงเชิงเส้น
📌 สูตรที่ใช้:
จำนวนวิธี=(n−1)!
เมื่อ:
n คือ จำนวนสิ่งของทั้งหมดที่นำมาจัดเรียง
ตัวอย่างประกอบ
ตัวอย่างที่ 3 (เรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม):
มีเพื่อน 6 คน ต้องการจัดให้นั่งล้อมรอบโต๊ะกลมเพื่อรับประทานอาหาร จะมีวิธีการจัดเรียงได้ทั้งหมดกี่วิธี?
วิธีทำ:
เป็นการจัดเรียงสิ่งของ 6 ชิ้นแบบวงกลม (n=6)
จำนวนวิธี=(6−1)!=5!=5×4×3×2×1=120 วิธี
✏️ แบบฝึกทักษะ: วิธีเรียงสับเปลี่ยน
จงแสดงวิธีคิดและหาคำตอบ
การจัดเรียงตัวอักษร:
จงหาจำนวนวิธีในการนำตัวอักษร 4 ตัว จากคำว่า NOTE มาจัดเรียงเป็นคำ (ไม่จำเป็นต้องมีความหมาย) โดยใช้ตัวอักษรทั้งหมด
การจัดตำแหน่ง:
มีคน 10 คน สมัครเข้าแข่งขันร้องเพลง หากคณะกรรมการต้องการจัดเรียงลำดับผู้เข้าแข่งขันเพียง 4 คนแรก จะมีวิธีจัดลำดับได้ทั้งหมดกี่วิธี?
การจัดที่นั่งวงกลม:
ต้องการจัดให้นักเรียน 7 คน นั่งรอบกองไฟเป็นรูปวงกลม จะมีวิธีการจัดที่นั่งที่แตกต่างกันได้ทั้งหมดกี่วิธี?
เฉลยแบบฝึกทักษะ
การจัดเรียงตัวอักษร (เรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด):
คำว่า NOTE มีตัวอักษร 4 ตัวที่แตกต่างกัน (n=4,r=4)
จำนวนวิธี=P
4,4
=4!=4×3×2×1=24 วิธี
การจัดตำแหน่ง (เรียงสับเปลี่ยนบางส่วน):
เลือกจาก 10 คน มาจัดลำดับ 4 ตำแหน่ง (n=10,r=4)
จำนวนวิธี=P
10,4
=
(10−4)!
10!
=
6!
10!
=10×9×8×7=5,040 วิธี
การจัดที่นั่งวงกลม (เรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม):
จัดเรียง 7 คนรอบวงกลม (n=7)
จำนวนวิธี=(7−1)!=6!=6×5×4×3×2×1=720 วิธี
-
วิธีเรียงสับเปลี่ยน
วิธีเรียงจัดหมู่
วิธีจัดหมู่ (Combination)
วิธีจัดหมู่ (Combination) คือ จำนวนวิธีการเลือกสิ่งของเป็น กลุ่ม หรือ ชุด โดยที่ ไม่ถือเอาลำดับ (Order) เป็นสำคัญ ซึ่งแตกต่างจากวิธีเรียงสับเปลี่ยน การสลับตำแหน่งของสิ่งของภายในกลุ่มที่เลือกมาถือเป็นวิธีเดียวกัน
พูดง่ายๆ คือ จัดหมู่สนใจแค่ว่า "ได้ใครมาบ้าง" แต่ไม่สนใจว่า "ได้มาในลำดับไหน"
1. การจัดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
เป็นการหาจำนวนวิธีในการเลือกสิ่งของ r ชิ้น จากสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด n ชิ้น โดยที่ไม่คำนึงถึงลำดับในการเลือก
📌 สูตรที่ใช้:
C
n,r
=(
r
n
)=
r!(n−r)!
n!
เมื่อ:
C
n,r
หรือ (
r
n
) คือ จำนวนวิธีจัดหมู่
n คือ จำนวนสิ่งของทั้งหมดที่มี
r คือ จำนวนสิ่งของที่เลือกมาจัดกลุ่ม (0≤r≤n)
ความสัมพันธ์กับวิธีเรียงสับเปลี่ยน
เนื่องจากการจัดหมู่ไม่สนใจลำดับ ขณะที่การเรียงสับเปลี่ยนสนใจลำดับ ดังนั้นจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนจึงมากกว่าจำนวนวิธีจัดหมู่เสมอ โดยมีความสัมพันธ์กันดังนี้:
P
n,r
=C
n,r
×r!
ตัวอย่างประกอบ
ตัวอย่างที่ 1:
มีนักเรียน 10 คน ต้องการเลือกตัวแทน 3 คน มาเข้าทีมกิจกรรม โดยไม่สนใจว่าใครจะถูกเลือกก่อนหรือหลัง จะมีวิธีการเลือกได้ทั้งหมดกี่วิธี?
วิธีทำ:
เป็นการจัดหมู่สิ่งของ 10 ชิ้น โดยเลือกมา 3 ชิ้น (n=10,r=3)
จำนวนวิธี=C
10,3
=
3!(10−3)!
10!
=
3!7!
10!
=
3×2×1×7!
10×9×8×7!
=
6
10×9×8
=120 วิธี
ตัวอย่างที่ 2 (การหยิบไพ่):
ถ้าหยิบไพ่ 2 ใบพร้อมกันจากไพ่โพดำทั้งหมด 13 ใบ จะมีวิธีหยิบได้ทั้งหมดกี่วิธี? (การหยิบไพ่พร้อมกันถือเป็นการจัดหมู่)
วิธีทำ:
เป็นการจัดหมู่สิ่งของ 13 ชิ้น โดยเลือกมา 2 ชิ้น (n=13,r=2)
จำนวนวิธี=C
13,2
=
2!(13−2)!
13!
=
2×1×11!
13×12×11!
=
2
156
=78 วิธี
ตัวอย่างที่ 3 (โจทย์ประยุกต์ร่วมกับกฎการคูณ):
กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 5 ลูก และสีน้ำเงิน 4 ลูก (ลูกบอลแต่ละสีถือว่าแตกต่างกัน) ถ้าต้องการหยิบลูกบอล 3 ลูก โดยเป็นสีแดง 2 ลูก และสีน้ำเงิน 1 ลูก จะมีวิธีการหยิบได้ทั้งหมดกี่วิธี?
วิธีทำ:
ต้องใช้กฎการคูณ โดยแบ่งเป็น 2 ขั้นตอน (การจัดหมู่ทั้งสองขั้นตอนทำต่อเนื่องกัน):
เลือกสีแดง 2 ลูก จาก 5 ลูก: C
5,2
=
2×1
5×4
=10 วิธี
เลือกสีน้ำเงิน 1 ลูก จาก 4 ลูก: C
4,1
=4 วิธี
จำนวนวิธีทั้งหมด=C
5,2
×C
4,1
=10×4=40 วิธี
✏️ แบบฝึกทักษะ: วิธีจัดหมู่
จงแสดงวิธีคิดและหาคำตอบ
การเลือกคณะกรรมการ:
ชมรมแห่งหนึ่งมีสมาชิก 12 คน ต้องการเลือกคณะกรรมการบริหารชมรมมา 4 คน จะมีวิธีการเลือกได้ทั้งหมดกี่วิธี?
การจับมือ:
ถ้ามีคน 6 คน มารวมตัวกัน และทุกคนจับมือกันเพียงครั้งเดียว จะมีการจับมือเกิดขึ้นทั้งหมดกี่ครั้ง? (การจับมือของ A กับ B ถือว่าเหมือนกับการจับมือของ B กับ A)
การเลือกข้อสอบ:
ข้อสอบชุดหนึ่งมีทั้งหมด 8 ข้อ ถ้านักเรียนจะต้องเลือกทำข้อสอบเพียง 6 ข้อ จะมีวิธีการเลือกข้อสอบได้ทั้งหมดกี่วิธี?
เฉลยแบบฝึกทักษะ
การเลือกคณะกรรมการ:
เป็นการจัดหมู่สิ่งของ 12 ชิ้น เลือกมา 4 ชิ้น (n=12,r=4)
จำนวนวิธี=C
12,4
=
4!8!
12!
=
4×3×2×1
12×11×10×9
=495 วิธี
การจับมือ:
เป็นการจัดหมู่สิ่งของ 6 ชิ้น เลือกมา 2 ชิ้น (n=6,r=2)
จำนวนครั้ง=C
6,2
=
2!4!
6!
=
2×1
6×5
=15 ครั้ง
การเลือกข้อสอบ:
เป็นการจัดหมู่สิ่งของ 8 ชิ้น เลือกมา 6 ชิ้น (n=8,r=6)
จำนวนวิธี=C
8,6
=
6!2!
8!
=
2×1
8×7
=28 วิธี
(หมายเหตุ: C
8,6
=C
8,8−6
=C
8,2
)
-
วิธีการจัดหมู่
ความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็น (Probability)
ความน่าจะเป็น (Probability) คือ ค่าตัวเลขที่บ่งบอกถึงโอกาสหรือความเป็นไปได้ที่เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้น โดยค่าความน่าจะเป็นจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ หรือคิดเป็นเปอร์เซ็นต์คือ 0% ถึง 100%
ค่าเข้าใกล้ 1 (หรือ 100%): หมายถึง เหตุการณ์นั้นมีโอกาสเกิดขึ้นสูงมาก
ค่าเข้าใกล้ 0 (หรือ 0%): หมายถึง เหตุการณ์นั้นมีโอกาสเกิดขึ้นน้อยมาก
1. องค์ประกอบสำคัญ
ก่อนคำนวณความน่าจะเป็น เราจำเป็นต้องเข้าใจคำศัพท์พื้นฐาน 2 คำ:
คำศัพท์ สัญลักษณ์ ความหมาย
ปริภูมิตัวอย่าง S ผลลัพธ์ทั้งหมด ที่เป็นไปได้จากการทดลองสุ่ม (n(S)=จำนวนสมาชิกของ S)
เหตุการณ์ E ผลลัพธ์ที่เราสนใจ ซึ่งเป็นสับเซตของปริภูมิตัวอย่าง (n(E)=จำนวนสมาชิกของ E)
ส่งออกไปยังชีต
ตัวอย่าง: การทอดลูกเต๋า 1 ลูก
ปริภูมิตัวอย่าง (S): ผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้คือ {1,2,3,4,5,6} ดังนั้น n(S)=6
เหตุการณ์ (E): เหตุการณ์ที่เราสนใจคือ "ได้แต้มเป็นจำนวนคู่" ผลลัพธ์คือ {2,4,6} ดังนั้น n(E)=3
2. สูตรในการคำนวณความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E (P(E)) สามารถคำนวณได้จากอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่สนใจ ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ในปริภูมิตัวอย่าง โดยมีข้อแม้ว่า สมาชิกทุกตัวในปริภูมิตัวอย่างต้องมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ EP(E)=
n(S)
n(E)
สมบัติที่สำคัญ:
0≤P(E)≤1 เสมอ
P(S)=1 (ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ใดๆ ในปริภูมิตัวอย่างจะเกิดขึ้น คือ 1)
P(∅)=0 (ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้จะเกิดขึ้น คือ 0)
ตัวอย่างประกอบ
ตัวอย่างที่ 1 (การทอดลูกเต๋า):
ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มเป็น จำนวนเฉพาะ
วิธีทำ:
หาปริภูมิตัวอย่าง (n(S)): S={1,2,3,4,5,6} ดังนั้น n(S)=6
หาเหตุการณ์ที่สนใจ (n(E)): E คือ เหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็นจำนวนเฉพาะ
(จำนวนเฉพาะได้แก่ 2, 3, 5) ดังนั้น E={2,3,5} และ n(E)=3
คำนวณความน่าจะเป็น:
P(E)=
n(S)
n(E)
=
6
3
=
2
1
หรือ 0.5
ตัวอย่างที่ 2 (การใช้หลักการนับ):
ในกล่องมีลูกแก้วสีเขียว 4 ลูก และสีเหลือง 5 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกแก้วมา 2 ลูกพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกแก้วสีเขียวทั้ง 2 ลูก
วิธีทำ:
หาปริภูมิตัวอย่าง (n(S)): จำนวนวิธีหยิบลูกแก้ว 2 ลูกจากทั้งหมด 4+5=9 ลูก (ใช้การจัดหมู่ เพราะไม่สนใจลำดับ)
n(S)=C
9,2
=
2×1
9×8
=36
หาเหตุการณ์ที่สนใจ (n(E)): E คือ เหตุการณ์ที่หยิบได้สีเขียว 2 ลูกจาก 4 ลูก
n(E)=C
4,2
=
2×1
4×3
=6
คำนวณความน่าจะเป็น:
P(E)=
n(S)
n(E)
=
36
6
=
6
1
✏️ แบบฝึกทักษะ: ความน่าจะเป็น
จงแสดงวิธีคิดและหาคำตอบของความน่าจะเป็นในแต่ละข้อ
การหยิบไพ่:
สุ่มหยิบไพ่ 1 ใบจากสำรับ (52 ใบ) จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ไพ่เป็น ดอกจิก
การทอดเหรียญ:
ในการทอดเหรียญบาทที่เที่ยงตรง 2 เหรียญ 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออก หัว 1 เหรียญ และก้อย 1 เหรียญ
ความน่าจะเป็นจากการจัดหมู่:
ในกลุ่มนักเรียนมีผู้ชาย 6 คน และผู้หญิง 4 คน ถ้าต้องการสุ่มเลือกตัวแทน 2 คน จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวแทนเป็น ผู้หญิงทั้ง 2 คน
เฉลยแบบฝึกทักษะ
การหยิบไพ่:
n(S)=52 (ไพ่ทั้งหมด)
n(E) = จำนวนไพ่ดอกจิก = 13 ใบ
P(E)=
52
13
=
4
1
การทอดเหรียญ:
n(S)=2×2=4 (ผลลัพธ์ทั้งหมดคือ {หห, หก, กห, กก})
E = ออก หัว 1 และ ก้อย 1 = {หก, กห} ดังนั้น n(E)=2
P(E)=
4
2
=
2
1
ความน่าจะเป็นจากการจัดหมู่:
จำนวนนักเรียนทั้งหมด: 6+4=10 คน
หา n(S): สุ่มเลือกตัวแทน 2 คนจาก 10 คน
n(S)=C
10,2
=
2
10×9
=45
หา n(E): เลือกผู้หญิง 2 คนจาก 4 คน
n(E)=C
4,2
=
2
4×3
=6
คำนวณความน่าจะเป็น:
P(E)=
n(S)
n(E)
=
45
6
=
15
2
-
ความน่าจะเป็น
การนำความรู้เรื่องกฎเกณฑ์การนับเบื้องต้น การสับเปลี่ยน การจัดหมู่ และความน่าจะเป็นไปใช้
การประยุกต์ใช้กฎเกณฑ์การนับเบื้องต้น วิธีเรียงสับเปลี่ยน วิธีจัดหมู่ และความน่าจะเป็น
ความรู้เกี่ยวกับหลักการนับและสถิติเป็นพื้นฐานสำคัญที่ถูกนำไปใช้ในหลายสาขา ตั้งแต่การตัดสินใจในชีวิตประจำวัน การเงิน ไปจนถึงวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และวิศวกรรมศาสตร์ เรามาดูตัวอย่างการนำความรู้เหล่านี้ไปใช้ในสถานการณ์จริง
1. การประยุกต์ใช้กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (กฎการคูณ/การบวก)
หลักการ: ใช้ในการคำนวณจำนวนทางเลือกทั้งหมดที่เป็นไปได้ เมื่อต้องมีการตัดสินใจหลายขั้นตอนหรือหลายทางเลือก
ตัวอย่างการประยุกต์ใช้: การวางแผนการผลิตและการตั้งรหัสผ่าน
ในธุรกิจ: โรงงานผลิตรถยนต์เสนอทางเลือกในการปรับแต่งรถยนต์ดังนี้: รุ่นรถ 2 แบบ, สีภายนอก 5 สี, และ สีภายใน 3 สี
การคำนวณ: ใช้กฎการคูณ
จำนวนแบบรถยนต์ที่แตกต่างกัน=2×5×3=30 แบบ
ในความปลอดภัย: หากต้องการตั้งรหัสผ่าน 4 หลัก โดยที่หลักแรกต้องเป็นตัวอักษร (A-Z) และหลักที่เหลือเป็นตัวเลข (0-9)
การคำนวณ: ใช้กฎการคูณ
จำนวนรหัสผ่านที่เป็นไปได้=26×10×10×10=26,000 รหัส
2. การประยุกต์ใช้วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation)
หลักการ: ใช้ในการจัดลำดับ หรือตำแหน่งของสิ่งของที่แตกต่างกัน เช่น การจัดอันดับ การจัดตารางเวลา หรือการสร้างรหัสที่มีความสำคัญกับลำดับ
ตัวอย่างการประยุกต์ใช้: การจัดอันดับและการจัดสรรงาน
ในการแข่งขัน: การแข่งขันมีผู้เข้าแข่งขัน 12 คน จงหาจำนวนวิธีในการมอบรางวัลเหรียญทอง เงิน และทองแดง (ตำแหน่งที่ 1, 2, 3)
การคำนวณ: ใช้ P
n,r
เพราะลำดับสำคัญ
จำนวนวิธีจัดอันดับ=P
12,3
=
(12−3)!
12!
=12×11×10=1,320 วิธี
ในการจัดการ: ต้องการจัดเรียงเอกสาร 6 ชนิดบนชั้นวาง จะจัดเรียงได้กี่วิธี?
การคำนวณ: ใช้ n! เพราะจัดเรียงทั้งหมด
จำนวนวิธีจัดเรียง=6!=720 วิธี
3. การประยุกต์ใช้วิธีจัดหมู่ (Combination)
หลักการ: ใช้ในการเลือกกลุ่ม หรือชุด โดยไม่สนใจลำดับการเลือก เช่น การเลือกคณะกรรมการ การเลือกทีม การหยิบไพ่
ตัวอย่างการประยุกต์ใช้: การเลือกบุคลากรและการเลือกส่วนผสม
การบริหารทรัพยากรบุคคล: บริษัทต้องการเลือกคณะกรรมการโครงการ 4 คน จากพนักงานที่มีคุณสมบัติเหมาะสม 15 คน
การคำนวณ: ใช้ C
n,r
เพราะไม่สนใจว่าใครถูกเลือกก่อนหลัง
จำนวนวิธีเลือกคณะกรรมการ=C
15,4
=
4!11!
15!
=1,365 วิธี
การเงิน: ในการลงทุน มีหุ้นที่น่าสนใจ 8 ตัว หากต้องการเลือกจัดพอร์ตการลงทุนที่ประกอบด้วยหุ้น 3 ตัว จะมีวิธีเลือกกี่แบบ?
การคำนวณ: ใช้ C
8,3
จำนวนวิธีจัดพอร์ต=C
8,3
=
3×2×1
8×7×6
=56 วิธี
4. การประยุกต์ใช้ความน่าจะเป็น (Probability)
หลักการ: ใช้ในการทำนายโอกาสหรือความเสี่ยงของเหตุการณ์ต่างๆ ซึ่งเป็นพื้นฐานของการตัดสินใจภายใต้ความไม่แน่นอน
ตัวอย่างการประยุกต์ใช้: การควบคุมคุณภาพและการตัดสินใจทางการเงิน
การควบคุมคุณภาพ: โรงงานผลิตหลอดไฟ 1,000 หลอด พบว่ามีหลอดไฟที่ชำรุด 20 หลอด หากสุ่มหยิบมา 1 หลอด ความน่าจะเป็นที่จะได้หลอดไฟที่ไม่ชำรุดคือเท่าใด?
การคำนวณ:
n(S)=1,000 (จำนวนหลอดไฟทั้งหมด)
n(E)=1,000−20=980 (จำนวนหลอดไฟไม่ชำรุด)
P(E)=
1,000
980
=0.98หรือ 98%
การประกันภัย: หากความน่าจะเป็นที่ลูกค้าจะประสบอุบัติเหตุในปีหน้าคือ 0.05 (5%) บริษัทประกันใช้ตัวเลขนี้ในการคำนวณเบี้ยประกันเพื่อรักษาสมดุลทางการเงิน
✏️ แบบฝึกทักษะ: การประยุกต์ใช้
จงวิเคราะห์โจทย์และเลือกใช้หลักการที่เหมาะสม (กฎการนับ, เรียงสับเปลี่ยน, จัดหมู่, หรือความน่าจะเป็น) เพื่อหาคำตอบ
การจัดตารางเรียน: ครูต้องการจัดตารางสอนวิชาคณิตศาสตร์, วิทยาศาสตร์, ภาษาไทย, และสังคมศึกษา โดยมี 4 คาบติดต่อกันในวันเดียว จะมีวิธีจัดเรียงลำดับวิชาได้กี่แบบ?
หลักการที่ใช้: …
คำตอบ: …
การเลือกคณะกรรมการ (ประยุกต์ร่วม): ในกล่องมีปากกาสีแดง 3 ด้าม และสีน้ำเงิน 7 ด้าม ถ้าสุ่มหยิบปากกา 2 ด้ามพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ปากกาสีเดียวกันทั้ง 2 ด้าม
หลักการที่ใช้: …
คำตอบ: …
การออกแบบชุด: ร้านขายเสื้อผ้าเสนอให้ลูกค้าเลือกเสื้อ 4 แบบ กระโปรง 3 แบบ และผ้าพันคอ 5 แบบ ลูกค้าจะสามารถเลือกชุดที่ไม่ซ้ำกัน (เสื้อ 1, กระโปรง 1, ผ้าพันคอ 1) ได้กี่ชุด?
หลักการที่ใช้: …
คำตอบ: …
เฉลยแบบฝึกทักษะ
การจัดตารางเรียน:
หลักการที่ใช้: วิธีเรียงสับเปลี่ยน (n!) เพราะลำดับวิชาสำคัญ
คำตอบ: 4!=4×3×2×1=24 แบบ
การเลือกคณะกรรมการ (ประยุกต์ร่วม):
หลักการที่ใช้: ความน่าจะเป็นและวิธีจัดหมู่
วิธีคิด:
n(S)=C
10,2
=45
n(E)=(แดง2 จาก 3)+(น้ำเงิน2 จาก 7)
n(E)=C
3,2
+C
7,2
=3+21=24
คำตอบ: P(E)=
45
24
=
15
8
การออกแบบชุด:
หลักการที่ใช้: กฎการคูณ
คำตอบ: 4×3×5=60 ชุด
-
การประยุกต์ใช้กฎเกณฑ์การนับเบื้องต้น วิธีเรียงสับเปลี่ยน วิธีจัดหมู่ และความน่าจะเป็น
แบบฝึกทักษะเรื่องกฎเกณฑ์การนับเบื้องต้น วิธีเรียงสับเปลี่ยน วิธีจัดหมู่ ความน่าจะเป็น และการประยุกต์ใช้
แบบฝึกทักษะ: หลักการนับเบื้องต้น วิธีเรียงสับเปลี่ยน จัดหมู่ และความน่าจะเป็น
คำชี้แจง: จงแสดงวิธีทำอย่างละเอียดในแต่ละข้อ (กำหนดให้ n!=n×(n−1)×⋯×1)
ส่วนที่ 1: กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
การสร้างเลข: ต้องการสร้างจำนวนเต็ม 3 หลัก ที่มีค่ามากกว่า 500 จากชุดตัวเลข {1,3,5,7,9}
ก. ถ้าตัวเลขสามารถซ้ำกันได้ จะสร้างได้กี่จำนวน?
ข. ถ้าตัวเลขห้ามซ้ำกัน จะสร้างได้กี่จำนวน?
การเลือกเมนู (กฎการบวก): ร้านกาแฟมีเมนูเครื่องดื่ม 4 ชนิด และเมนูเบเกอรี่ 6 ชนิด ถ้าลูกค้าต้องการสั่งเครื่องดื่ม หรือ เบเกอรี่เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง จะมีวิธีสั่งได้กี่วิธี?
ส่วนที่ 2: วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation)
การจัดที่นั่ง: มีคน 7 คน ต้องการจัดให้นั่งเก้าอี้เป็นแถวตรง โดยเลือกมาเพียง 4 คน จะมีวิธีจัดเรียงได้ทั้งหมดกี่วิธี? (ใช้สูตร P
n,r
)
การจัดเรียงวงกลม: นำนักเรียนชาย 3 คน และนักเรียนหญิง 3 คน มาจัดให้นั่งรอบโต๊ะกลม จะมีวิธีจัดเรียงได้ทั้งหมดกี่วิธี?
การสร้างคำ (เงื่อนไข): นำตัวอักษรทั้งหมดจากคำว่า FRIDAY มาจัดเรียงเป็นคำใหม่ โดยที่ตัวอักษร F และ Y ต้องอยู่ติดกันเสมอ จะมีวิธีจัดเรียงได้กี่วิธี?
ส่วนที่ 3: วิธีจัดหมู่ (Combination)
การเลือกคณะกรรมการ: บริษัทมีพนักงาน 12 คน ต้องการเลือกคณะกรรมการพิเศษ 5 คน โดยไม่คำนึงถึงตำแหน่ง จะมีวิธีการเลือกได้ทั้งหมดกี่วิธี? (ใช้สูตร C
n,r
)
การเลือกไพ่ (ประยุกต์): ในการหยิบไพ่ 3 ใบพร้อมกันจากไพ่ชุด King (K), Queen (Q), Jack (J), และ Ace (A) ซึ่งมีอย่างละ 4 ใบ (รวม 16 ใบ) จงหาจำนวนวิธีที่จะหยิบได้ไพ่ Ace 2 ใบ และไพ่ใบอื่นที่ไม่ใช่ Ace 1 ใบ
ส่วนที่ 4: ความน่าจะเป็นและการประยุกต์ใช้
ความน่าจะเป็นพื้นฐาน: ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะออกแต้มเป็น จำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
ความน่าจะเป็นจากการจัดหมู่: กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 5 ลูก และสีแดง 5 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูกพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอล สีขาวทั้ง 2 ลูก
การประยุกต์ใช้: นาย ก และ นาย ข อยู่ในกลุ่มนักเรียน 8 คน ถ้าต้องการสุ่มเลือกตัวแทน 3 คน มานำเสนองาน จงหาความน่าจะเป็นที่ นาย ก และ นาย ข จะได้รับเลือกเป็นตัวแทนทั้งคู่
เฉลยแบบฝึกทักษะ
การสร้างเลข (มากกว่า 500 จาก {1,3,5,7,9}):
ก. ตัวเลขซ้ำกันได้:
หลักร้อยเลือกได้ 3 วิธี (5, 7, 9)
หลักสิบเลือกได้ 5 วิธี
หลักหน่วยเลือกได้ 5 วิธี
3×5×5=75 จำนวน
ข. ตัวเลขห้ามซ้ำกัน:
หลักร้อยเลือกได้ 3 วิธี (5, 7, 9)
หลักสิบเลือกได้ 4 วิธี (เหลือ 4 ตัว)
หลักหน่วยเลือกได้ 3 วิธี (เหลือ 3 ตัว)
3×4×3=36 จำนวน
การเลือกเมนู (กฎการบวก):
จำนวนวิธี=เครื่องดื่ม+เบเกอรี่=4+6=10 วิธี
การจัดที่นั่ง: (n=7,r=4)
จำนวนวิธี=P
7,4
=
(7−4)!
7!
=
3!
7!
=7×6×5×4=840 วิธี
การจัดเรียงวงกลม: (ทั้งหมด 6 คน)
จำนวนวิธี=(6−1)!=5!=5×4×3×2×1=120 วิธี
การสร้างคำ (เงื่อนไข): (คำว่า FRIDAY มี 6 ตัว)
มัด F และ Y ติดกัน ถือเป็น 1 หน่วย ({FY} หรือ {YF}):
ขั้นที่ 1: จัดเรียงหน่วย (หน่วย FY, R, I, D, A) คือ 5 หน่วย
5!=120 วิธี
ขั้นที่ 2: จัดเรียงภายในหน่วย (FY หรือ YF)
2!=2 วิธี
จำนวนวิธีทั้งหมด=120×2=240 วิธี
การเลือกคณะกรรมการ: (n=12,r=5)
จำนวนวิธี=C
12,5
=
5!(12−5)!
12!
=
5×4×3×2×1
12×11×10×9×8
=792 วิธี
การเลือกไพ่ (ประยุกต์):
เลือก Ace 2 ใบ จาก 4 ใบ: C
4,2
=
2
4×3
=6 วิธี
เลือกใบอื่น 1 ใบ จาก 16−4=12 ใบ: C
12,1
=12 วิธี
จำนวนวิธีทั้งหมด=6×12=72 วิธี
ความน่าจะเป็นพื้นฐาน:
n(S)=6 ({1,2,3,4,5,6})
E = แต้มหารด้วย 3 ลงตัว = {3,6}; n(E)=2
P(E)=
n(S)
n(E)
=
6
2
=
3
1
ความน่าจะเป็นจากการจัดหมู่:
n(S) = หยิบ 2 ลูกจาก 10 ลูก: C
10,2
=
2
10×9
=45
n(E) = หยิบสีขาว 2 ลูกจาก 5 ลูก: C
5,2
=
2
5×4
=10
P(E)=
n(S)
n(E)
=
45
10
=
9
2
การประยุกต์ใช้:
n(S) = เลือก 3 คนจาก 8 คน: C
8,3
=
3×2×1
8×7×6
=56
n(E) = นาย ก และ นาย ข ถูกเลือก (เหลือที่นั่ง 1 ตำแหน่ง)
เลือกคนเพิ่ม 1 คนจาก 8−2=6 คนที่เหลือ: C
6,1
=6
P(E)=
n(S)
n(E)
=
56
6
=
28
3
-
แบบฝึกทักษะ: หลักการนับเบื้องต้น วิธีเรียงสับเปลี่ยน จัดหมู่ และความน่าจะเป็น
การให้คะแนนและรีวิวของผู้เรียน
ยังไม่มีรีวิว